Résoudre 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Calculer y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -90 à b et 54 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Additionner 8100 et -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

L’inverse de -90 est 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} lorsque ± est positif. Additionner 90 et 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Diviser 90+6\sqrt{195} par 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 6\sqrt{195} à 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Diviser 90-6\sqrt{195} par 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Soustraire 54 des deux côtés de l’équation.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

La soustraction de 54 de lui-même donne 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Diviser -90 par 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Divisez -18, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -9. Ajouter ensuite le carré de -9 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Calculer le carré de -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Additionner -\frac{54}{5} et 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Factor y^{2}-18y+81. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Simplifier.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$