Résoudre 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-2184. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-105 b=104$$

Réécrire 5x^{2}-x-2184 en tant qu’\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Factorisez 5x du premier et 104 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Factoriser le facteur commun x-21 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-21=0 et 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -1 à b et -2184 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Additionner 1 et 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±209}{10} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Diviser 210 par 10.

$$x=21$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±209}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 209 à 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-208}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ajouter 2184 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

La soustraction de -2184 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Soustraire -2184 à 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Divisez -\frac{1}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{10}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Additionner \frac{2184}{5} et \frac{1}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Ajouter \frac{1}{10} aux deux côtés de l’équation.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$