Résoudre 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -4 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Additionner 16 et -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Diviser 4+2i\sqrt{21} par 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{21} à 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Diviser 4-2i\sqrt{21} par 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Diviser -5 par 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Divisez -\frac{4}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Additionner -1 et \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Ajouter \frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$