Résoudre 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-42. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -29.

$$a=-35 b=6$$

Réécrire 5x^{2}-29x-42 en tant qu’\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Factorisez 5x du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-7=0 et 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -29 à b et -42 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Additionner 841 et 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

L’inverse de -29 est 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{29±41}{10} lorsque ± est positif. Additionner 29 et 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Diviser 70 par 10.

$$x=7$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{29±41}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 41 à 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Ajouter 42 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

La soustraction de -42 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Soustraire -42 à 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Divisez -\frac{29}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{29}{10}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{29}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{29}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Additionner \frac{42}{5} et \frac{841}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Ajouter \frac{29}{10} aux deux côtés de l’équation.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$