Résoudre 5x^2+7x-90=0

$$5 { x }^{ 2 } +7x-90=0$$

Calculer x

$$x=-5$$

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-90. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=5\left(-90\right)=-450$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -450.

$$-1,450 -2,225 -3,150 -5,90 -6,75 -9,50 -10,45 -15,30 -18,25$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+450=449 -2+225=223 -3+150=147 -5+90=85 -6+75=69 -9+50=41 -10+45=35 -15+30=15 -18+25=7$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-18 b=25$$

Réécrire 5x^{2}+7x-90 en tant qu’\left(5x^{2}-18x\right)+\left(25x-90\right).

$$\left(5x^{2}-18x\right)+\left(25x-90\right)$$

Factorisez x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$x\left(5x-18\right)+5\left(5x-18\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-18 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-18\right)\left(x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-18=0 et x+5=0.

$$x=\frac{18}{5} x=-5$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+7x-90=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 7 à b et -90 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\left(-90\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -90.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+1800}}{2\times 5}$$

Additionner 49 et 1800.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1849}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 1849.

$$x=\frac{-7±43}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-7±43}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±43}{10} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 43.

$$x=\frac{36}{10}$$

Réduire la fraction \frac{36}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{18}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±43}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 43 à -7.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Diviser -50 par 10.

$$x=-5$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{18}{5} x=-5$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+7x-90=0$$

Ajouter 90 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+7x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

La soustraction de -90 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+7x=-\left(-90\right)$$

Soustraire -90 à 0.

$$5x^{2}+7x=90$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=\frac{90}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=\frac{90}{5}$$

Diviser 90 par 5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=18$$

Divisez \frac{7}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{10}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=18+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=18+\frac{49}{100}$$

Additionner 18 et \frac{49}{100}.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1849}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1849}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1849}{100}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{43}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{43}{10}$$

Soustraire \frac{7}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{18}{5} x=-5$$