Résoudre 5x^2+4x+85=0

$$5 { x }^{ 2 } +4x+85=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5}\approx -0,4+4,103656906i$$

$$x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}\approx -0,4-4,103656906i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+4x+85=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 4 à b et 85 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 85}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 85.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-1700}}{2\times 5}$$

Additionner 16 et -1700.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-1684}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -1684.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 2i\sqrt{421}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{421}i}{10}$$

Diviser -4+2i\sqrt{421} par 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±2\sqrt{421}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{421} à -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{421}i-4}{10}$$

Diviser -4-2i\sqrt{421} par 10.

$$x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5} x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+85=0$$

Soustraire 85 des deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+4x+85-85=-85$$

La soustraction de 85 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+4x=-85$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{85}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{85}{5}$$

Diviser -85 par 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-17$$

Divisez \frac{4}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{2}{5}. Ajouter ensuite le carré de \frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-17+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{2}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-17+\frac{4}{25}$$

Additionner -17 et \frac{4}{25}.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{421}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{421}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{421}{25}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{421}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{421}i}{5}$$

Soustraire \frac{2}{5} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-2+\sqrt{421}i}{5} x=\frac{-\sqrt{421}i-2}{5}$$