Résoudre 5sqrt{x-3}=7-x

$$5 \sqrt { x - 3 } = 7 - x$$

Calculer x

$$x = \frac{39 - 5 \sqrt{41}}{2} \approx 3,492189406$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(5\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Étendre \left(5\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$5^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Calculer 5 à la puissance 2 et obtenir 25.

$$25\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-3} à la puissance 2 et obtenir x-3.

$$25\left(x-3\right)=\left(7-x\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 25 par x-3.

$$25x-75=\left(7-x\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(7-x\right)^{2}.

$$25x-75=49-14x+x^{2}$$

Soustraire 49 des deux côtés.

$$25x-75-49=-14x+x^{2}$$

Soustraire 49 de -75 pour obtenir -124.

$$25x-124=-14x+x^{2}$$

Ajouter 14x aux deux côtés.

$$25x-124+14x=x^{2}$$

Combiner 25x et 14x pour obtenir 39x.

$$39x-124=x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$39x-124-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+39x-124=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 39 à b et -124 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-1\right)\left(-124\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 39.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-1\right)\left(-124\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+4\left(-124\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par -124.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-496}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1521 et -496.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1025}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 1025.

$$x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -39 et 5\sqrt{41}.

$$x=\frac{5\sqrt{41}-39}{-2}$$

Diviser -39+5\sqrt{41} par -2.

$$x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-39±5\sqrt{41}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 5\sqrt{41} à -39.

$$x=\frac{-5\sqrt{41}-39}{-2}$$

Diviser -39-5\sqrt{41} par -2.

$$x=\frac{5\sqrt{41}+39}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2} x=\frac{5\sqrt{41}+39}{2}$$

Remplacez x par \frac{39-5\sqrt{41}}{2} dans l’équation 5\sqrt{x-3}=7-x.

$$5\sqrt{\frac{39-5\sqrt{41}}{2}-3}=7-\frac{39-5\sqrt{41}}{2}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2} satisfait à l’équation.

$$-\frac{25}{2}+\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}=-\frac{25}{2}+\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{5\sqrt{41}+39}{2} dans l’équation 5\sqrt{x-3}=7-x.

$$5\sqrt{\frac{5\sqrt{41}+39}{2}-3}=7-\frac{5\sqrt{41}+39}{2}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{5\sqrt{41}+39}{2} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$\frac{25}{2}+\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}=-\frac{25}{2}-\frac{5}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}$$

L’équation 5\sqrt{x-3}=7-x a une solution unique.

$$x=\frac{39-5\sqrt{41}}{2}$$