Résoudre 49x^2-42x+9

$$49 x ^ { 2 } - 42 x + 9$$

Factoriser

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 49x^{2}+ax+bx+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

La solution est la paire qui donne la somme -42.

$$a=-21 b=-21$$

Réécrire 49x^{2}-42x+9 en tant qu’\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

Factorisez 7x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 7x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(49x^{2}-42x+9)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(49,-42,9)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Calculer le carré de -42.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Multiplier -4 par 49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

Multiplier -196 par 9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

Additionner 1764 et -1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 49}$$

L’inverse de -42 est 42.

$$x=\frac{42±0}{2\times 49}$$

Multiplier 2 par 49.

$$x=\frac{42±0}{98}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{7} par x_{1} et \frac{3}{7} par x_{2}.

$$49x^{2}-42x+9=49\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Soustraire \frac{3}{7} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Soustraire \frac{3}{7} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{7x-3}{7}$$

Multiplier \frac{7x-3}{7} par \frac{7x-3}{7} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{7\times 7}$$

Multiplier 7 par 7.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{49}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 49 dans 49 et 49.

$$49x^{2}-42x+9=\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Évaluer

$$\left(7x-3\right)^{2}$$