Résoudre 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 49 à a, 30 à b et 25 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Calculer le carré de 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplier -4 par 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplier -196 par 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Additionner 900 et -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Extraire la racine carrée de -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Multiplier 2 par 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} lorsque ± est positif. Additionner -30 et 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Diviser -30+20i\sqrt{10} par 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} lorsque ± est négatif. Soustraire 20i\sqrt{10} à -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Diviser -30-20i\sqrt{10} par 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Soustraire 25 des deux côtés de l’équation.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

La soustraction de 25 de lui-même donne 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Divisez les deux côtés par 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

La division par 49 annule la multiplication par 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Divisez \frac{30}{49}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{15}{49}. Ajouter ensuite le carré de \frac{15}{49} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{15}{49} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Additionner -\frac{25}{49} et \frac{225}{2401} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Factor x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Soustraire \frac{15}{49} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$