Résoudre 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Calculer t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que t^{2}+at+bt-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-4=-3 2-2=0$$

La solution est la paire qui donne la somme -3.

$$a=-4 b=1$$

Réécrire t^{2}-3t-4 en tant qu’\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Factoriser t dans t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Factoriser le facteur commun t-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez t-4=0 et t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 49 à a, -147 à b et -196 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Calculer le carré de -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplier -4 par 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplier -196 par -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Additionner 21609 et 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Extraire la racine carrée de 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

L’inverse de -147 est 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Multiplier 2 par 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{147±245}{98} lorsque ± est positif. Additionner 147 et 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Diviser 392 par 98.

$$t=4$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{147±245}{98} lorsque ± est négatif. Soustraire 245 à 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Diviser -98 par 98.

$$t=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=4 t=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Ajouter 196 aux deux côtés de l’équation.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

La soustraction de -196 de lui-même donne 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Soustraire -196 à 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Divisez les deux côtés par 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

La division par 49 annule la multiplication par 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Diviser -147 par 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Diviser 196 par 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Additionner 4 et \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$t=4 t=-1$$