Résoudre 45x^2+27x+32=15

$$45 { x }^{ 2 } +27x+32=15$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10}\approx -0,3+0,536449231i$$

$$x=-\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10}\approx -0,3-0,536449231i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$45x^{2}+27x+32=15$$

Soustraire 15 des deux côtés de l’équation.

$$45x^{2}+27x+32-15=15-15$$

La soustraction de 15 de lui-même donne 0.

$$45x^{2}+27x+32-15=0$$

Soustraire 15 à 32.

$$45x^{2}+27x+17=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 45 à a, 27 à b et 17 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 45\times 17}}{2\times 45}$$

Calculer le carré de 27.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 45\times 17}}{2\times 45}$$

Multiplier -4 par 45.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-180\times 17}}{2\times 45}$$

Multiplier -180 par 17.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-3060}}{2\times 45}$$

Additionner 729 et -3060.

$$x=\frac{-27±\sqrt{-2331}}{2\times 45}$$

Extraire la racine carrée de -2331.

$$x=\frac{-27±3\sqrt{259}i}{2\times 45}$$

Multiplier 2 par 45.

$$x=\frac{-27±3\sqrt{259}i}{90}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-27±3\sqrt{259}i}{90} lorsque ± est positif. Additionner -27 et 3i\sqrt{259}.

$$x=\frac{-27+3\sqrt{259}i}{90}$$

Diviser -27+3i\sqrt{259} par 90.

$$x=\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-27±3\sqrt{259}i}{90} lorsque ± est négatif. Soustraire 3i\sqrt{259} à -27.

$$x=\frac{-3\sqrt{259}i-27}{90}$$

Diviser -27-3i\sqrt{259} par 90.

$$x=-\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10} x=-\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$45x^{2}+27x+32=15$$

Soustraire 32 des deux côtés de l’équation.

$$45x^{2}+27x+32-32=15-32$$

La soustraction de 32 de lui-même donne 0.

$$45x^{2}+27x=15-32$$

Soustraire 32 à 15.

$$45x^{2}+27x=-17$$

Divisez les deux côtés par 45.

$$\frac{45x^{2}+27x}{45}=-\frac{17}{45}$$

La division par 45 annule la multiplication par 45.

$$x^{2}+\frac{27}{45}x=-\frac{17}{45}$$

Réduire la fraction \frac{27}{45} au maximum en extrayant et en annulant 9.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{17}{45}$$

Divisez \frac{3}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{10}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{17}{45}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{17}{45}+\frac{9}{100}$$

Additionner -\frac{17}{45} et \frac{9}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{259}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{259}{900}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{259}{900}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{259}i}{30} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{259}i}{30}$$

Soustraire \frac{3}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10} x=-\frac{\sqrt{259}i}{30}-\frac{3}{10}$$