Résoudre 42m^2-89m-21

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

Factoriser

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 42m^{2}+am+bm-21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -882.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

La solution est la paire qui donne la somme -89.

$$a=-98 b=9$$

Réécrire 42m^{2}-89m-21 en tant qu’\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right).

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

Factorisez 14m du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

Factoriser le facteur commun 3m-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Calculer le carré de -89.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Multiplier -4 par 42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Multiplier -168 par -21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

Additionner 7921 et 3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

Extraire la racine carrée de 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

L’inverse de -89 est 89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

Multiplier 2 par 42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

Résolvez maintenant l’équation m=\frac{89±107}{84} lorsque ± est positif. Additionner 89 et 107.

$$m=\frac{196}{84}$$

Réduire la fraction \frac{196}{84} au maximum en extrayant et en annulant 28.

$$m=\frac{7}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation m=\frac{89±107}{84} lorsque ± est négatif. Soustraire 107 à 89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{84} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$m=-\frac{3}{14}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{7}{3} par x_{1} et -\frac{3}{14} par x_{2}.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Soustraire \frac{7}{3} de m en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Additionner \frac{3}{14} et m en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

Multiplier \frac{3m-7}{3} par \frac{14m+3}{14} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

Multiplier 3 par 14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

Annuler 42, le plus grand facteur commun dans 42 et 42.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Évaluer

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$