Résoudre 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 40x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

La solution est la paire qui donne la somme -14.

$$a=-10 b=-4$$

Réécrire 40x^{2}-14x+1 en tant qu’\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Factorisez 10x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-1=0 et 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 40 à a, -14 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Multiplier -4 par 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Additionner 196 et -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Extraire la racine carrée de 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Multiplier 2 par 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±6}{80} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Réduire la fraction \frac{20}{80} au maximum en extrayant et en annulant 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±6}{80} lorsque ± est négatif. Soustraire 6 à 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Réduire la fraction \frac{8}{80} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Divisez les deux côtés par 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

La division par 40 annule la multiplication par 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{40} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Divisez -\frac{7}{20}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{40}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{40} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{40} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Additionner -\frac{1}{40} et \frac{49}{1600} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Ajouter \frac{7}{40} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$