Résoudre 4z^2+4z-3

$$4 z ^ { 2 } + 4 z - 3$$

Factoriser

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 4z^{2}+az+bz-3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 4.

$$a=-2 b=6$$

Réécrire 4z^{2}+4z-3 en tant qu’\left(4z^{2}-2z\right)+\left(6z-3\right).

$$\left(4z^{2}-2z\right)+\left(6z-3\right)$$

Factorisez 2z du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$2z\left(2z-1\right)+3\left(2z-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2z-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4z^{2}+4z-3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 4.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -3.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Additionner 16 et 48.

$$z=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 64.

$$z=\frac{-4±8}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$z=\frac{-4±8}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-4±8}{8} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 8.

$$z=\frac{4}{8}$$

Réduire la fraction \frac{4}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$z=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-4±8}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 8 à -4.

$$z=-\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{1}{2} par x_{1} et -\frac{3}{2} par x_{2}.

$$4z^{2}+4z-3=4\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$4z^{2}+4z-3=4\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Soustraire \frac{1}{2} de z en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{2z-1}{2}\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Additionner \frac{3}{2} et z en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{2z-1}{2}\times \frac{2z+3}{2}$$

Multiplier \frac{2z-1}{2} par \frac{2z+3}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)}{4}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 4 dans 4 et 4.

$$4z^{2}+4z-3=\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Évaluer

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$