Résoudre 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Calculer y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4y^{2}+ay+by+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-8 b=-1$$

Réécrire 4y^{2}-9y+2 en tant qu’\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Factorisez 4y du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Factoriser le facteur commun y-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez y-2=0 et 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -9 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Additionner 81 et -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{9±7}{8} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Diviser 16 par 8.

$$y=2$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{9±7}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Réduire la fraction \frac{2}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Divisez -\frac{9}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Additionner -\frac{1}{2} et \frac{81}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Factor y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Ajouter \frac{9}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$