Résoudre 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Calculer y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -7 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -7.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Additionner 49 et -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} lorsque ± est positif. Additionner 7 et \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{33} à 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Divisez -\frac{7}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Additionner -\frac{1}{4} et \frac{49}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Factor y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Simplifier.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Ajouter \frac{7}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$