Résoudre 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Calculer y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4y^{2}-56y=108$$

Soustraire 108 des deux côtés de l’équation.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

La soustraction de 108 de lui-même donne 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -56 à b et -108 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -56.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Additionner 3136 et 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

L’inverse de -56 est 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} lorsque ± est positif. Additionner 56 et 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Diviser 56+16\sqrt{19} par 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 16\sqrt{19} à 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Diviser 56-16\sqrt{19} par 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Diviser -56 par 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Diviser 108 par 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Divisez -14, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -7. Ajouter ensuite le carré de -7 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Calculer le carré de -7.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Additionner 27 et 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Factor y^{2}-14y+49. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Simplifier.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Ajouter 7 aux deux côtés de l’équation.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$