Résoudre 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Factoriser

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 4y^{2}+ay+by+27. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

La solution est la paire qui donne la somme -24.

$$a=-18 b=-6$$

Réécrire 4y^{2}-24y+27 en tant qu’\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Factorisez 2y du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Factoriser le facteur commun 2y-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -24.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Additionner 576 et -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

L’inverse de -24 est 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{24±12}{8} lorsque ± est positif. Additionner 24 et 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Réduire la fraction \frac{36}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{24±12}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 12 à 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{9}{2} par x_{1} et \frac{3}{2} par x_{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Soustraire \frac{9}{2} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Soustraire \frac{3}{2} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Multiplier \frac{2y-9}{2} par \frac{2y-3}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 4 dans 4 et 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Évaluer

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$