Résoudre 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Calculer x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Choisissez une des équations et résolvez-la x en isolant x à gauche du signe égal.

$$4x-y=5$$

Ajouter y aux deux côtés de l’équation.

$$4x=y+5$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplier \frac{1}{4} par y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Substituer \frac{5+y}{4} par x dans l’autre équation, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplier -4 par \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Additionner -y et 5y.

$$4y-5=7$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$4y=12$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$y=3$$

Substituer 3 à y dans x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplier \frac{1}{4} par 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Additionner \frac{5}{4} et \frac{3}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=2$$

Le système est désormais résolu.

$$x=2,y=3$$

Étapes d’utilisation des matrices

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=2,y=3$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Pour rendre 4x et -4x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par -4 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Simplifier.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Soustraire -16x+20y=28 de -16x+4y=-20 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Additionner -16x et 16x. Les termes -16x et16x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$4y-20y=-20-28$$

Additionner 4y et -20y.

$$-16y=-20-28$$

Additionner -20 et -28.

$$-16y=-48$$

Divisez les deux côtés par -16.

$$y=3$$

Substituer 3 à y dans -4x+5y=7. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplier 5 par 3.

$$-4x+15=7$$

Soustraire 15 des deux côtés de l’équation.

$$-4x=-8$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$x=2$$

Le système est désormais résolu.

$$x=2,y=3$$