Résoudre 4x(x-4)+7geq0

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Calculer x

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utiliser la distributivité pour multiplier 4x par x-4.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 4 pour a, -16 pour b et 7 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Résoudre l’équation x=\frac{16±12}{8} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Pour que le produit soit ≥0, x-\frac{7}{2} et x-\frac{1}{2} doivent être ≤0 ou les deux ≥0. Examinons le cas lorsque x-\frac{7}{2} et x-\frac{1}{2} sont tous les deux ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Examinons le cas lorsque x-\frac{7}{2} et x-\frac{1}{2} sont tous les deux ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$