Résoudre 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-5 b=4$$

Réécrire 4x^{2}-x-5 en tant qu’\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Factoriser x dans 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Factoriser le facteur commun 4x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-5=0 et x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -1 à b et -5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Additionner 1 et 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±9}{8} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Réduire la fraction \frac{10}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±9}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Diviser -8 par 8.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

La soustraction de -5 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Soustraire -5 à 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Divisez -\frac{1}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Additionner \frac{5}{4} et \frac{1}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Ajouter \frac{1}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$