Résoudre 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-12 b=3$$

Réécrire 4x^{2}-9x-9 en tant qu’\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Factorisez 4x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -9 à b et -9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Additionner 81 et 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±15}{8} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Diviser 24 par 8.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±15}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 15 à 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

La soustraction de -9 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Soustraire -9 à 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Divisez -\frac{9}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Additionner \frac{9}{4} et \frac{81}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Ajouter \frac{9}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$