Résoudre 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Calculer x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-4 b=-3$$

Réécrire 4x^{2}-7x+3 en tant qu’\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Factorisez 4x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -7 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Additionner 49 et -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±1}{8} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Diviser 8 par 8.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±1}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Réduire la fraction \frac{6}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Divisez -\frac{7}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Additionner -\frac{3}{4} et \frac{49}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Ajouter \frac{7}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$