Résoudre 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=-4 b=-1$$

Réécrire 4x^{2}-5x+1 en tant qu’\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factorisez 4x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -5 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Additionner 25 et -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±3}{8} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Diviser 8 par 8.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±3}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Réduire la fraction \frac{2}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Divisez -\frac{5}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Additionner -\frac{1}{4} et \frac{25}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Ajouter \frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$