Résoudre 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -18 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Additionner 324 et -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

L’inverse de -18 est 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} lorsque ± est positif. Additionner 18 et 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Diviser 18+2\sqrt{61} par 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{61} à 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Diviser 18-2\sqrt{61} par 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Divisez -\frac{9}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Additionner -\frac{5}{4} et \frac{81}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Ajouter \frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$