Résoudre 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-14x=9$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -14 à b et -9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Additionner 196 et 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Diviser 14+2\sqrt{85} par 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{85} à 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Diviser 14-2\sqrt{85} par 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Divisez -\frac{7}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Additionner \frac{9}{4} et \frac{49}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Ajouter \frac{7}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$