Résoudre 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-27. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -12.

$$a=-18 b=6$$

Réécrire 4x^{2}-12x-27 en tant qu’\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Factorisez 2x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-9=0 et 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -12 à b et -27 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Additionner 144 et 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±24}{8} lorsque ± est positif. Additionner 12 et 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Réduire la fraction \frac{36}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±24}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 24 à 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Ajouter 27 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

La soustraction de -27 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Soustraire -27 à 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Diviser -12 par 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Additionner \frac{27}{4} et \frac{9}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$