Résoudre 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

La solution est la paire qui donne la somme -12.

$$a=-6 b=-6$$

Réécrire 4x^{2}-12x+9 en tant qu’\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

Factorisez 2x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 2x-3=0.

$$x=\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -12 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Additionner 144 et -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-12x=-9$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Diviser -12 par 4.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Additionner -\frac{9}{4} et \frac{9}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=\frac{3}{2}$$