Résoudre 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Soustraire 16 à 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -11 à b et 14 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Additionner 121 et -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

L’inverse de -11 est 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} lorsque ± est positif. Additionner 11 et i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{103} à 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Soustraire 30 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

La soustraction de 30 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Soustraire 30 à 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Divisez -\frac{11}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Additionner -\frac{7}{2} et \frac{121}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Ajouter \frac{11}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$