Résoudre 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 6 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Additionner 36 et -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de -124.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} lorsque ± est positif. Additionner -6 et 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Diviser -6+2i\sqrt{31} par 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{31} à -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Diviser -6-2i\sqrt{31} par 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

La soustraction de 10 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{6}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divisez \frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Additionner -\frac{5}{2} et \frac{9}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Soustraire \frac{3}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$