Résoudre 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-81. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

La solution est la paire qui donne la somme 48.

$$a=-6 b=54$$

Réécrire 4x^{2}+48x-81 en tant qu’\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Factorisez 2x du premier et 27 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-3=0 et 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 48 à b et -81 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Additionner 2304 et 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-48±60}{8} lorsque ± est positif. Additionner -48 et 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-48±60}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 60 à -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-108}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Ajouter 81 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

La soustraction de -81 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Soustraire -81 à 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Diviser 48 par 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Divisez 12, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 6. Ajouter ensuite le carré de 6 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Calculer le carré de 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Additionner \frac{81}{4} et 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Factor x^{2}+12x+36. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplifier.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$