Résoudre 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 4 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Additionner 16 et -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Diviser -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} par 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 8i\sqrt{2} à -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Diviser -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} par 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Diviser 4 par 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Additionner -\frac{9}{4} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$