Résoudre 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Calculer x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 10.

$$1,10 2,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+10=11 2+5=7$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=2 b=5$$

Réécrire x^{2}+7x+10 en tant qu’\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Factorisez x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x+2=0 et x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 28 à b et 40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Additionner 784 et -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-28±12}{8} lorsque ± est positif. Additionner -28 et 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Diviser -16 par 8.

$$x=-2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-28±12}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 12 à -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Diviser -40 par 8.

$$x=-5$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-2 x=-5$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Soustraire 40 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

La soustraction de 40 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Diviser 28 par 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Diviser -40 par 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Divisez 7, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Additionner -10 et \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Soustraire \frac{7}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=-2 x=-5$$