Résoudre 4x^2+17x-42

$$4 x ^ { 2 } + 17 x - 42$$

Factoriser

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 4x^{2}+ax+bx-42. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=17 ab=4\left(-42\right)=-168$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 17.

$$a=-7 b=24$$

Réécrire 4x^{2}+17x-42 en tant qu’\left(4x^{2}-7x\right)+\left(24x-42\right).

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(24x-42\right)$$

Factorisez x du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$x\left(4x-7\right)+6\left(4x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+17x-42=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 4\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 4\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-16\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -42.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+672}}{2\times 4}$$

Additionner 289 et 672.

$$x=\frac{-17±\sqrt{961}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 961.

$$x=\frac{-17±31}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-17±31}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±31}{8} lorsque ± est positif. Additionner -17 et 31.

$$x=\frac{14}{8}$$

Réduire la fraction \frac{14}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±31}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 31 à -17.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Diviser -48 par 8.

$$x=-6$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{7}{4} par x_{1} et -6 par x_{2}.

$$4x^{2}+17x-42=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$4x^{2}+17x-42=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x+6\right)$$

Soustraire \frac{7}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4x^{2}+17x-42=4\times \frac{4x-7}{4}\left(x+6\right)$$

Annulez le facteur commun le plus grand 4 dans 4 et 4.

$$4x^{2}+17x-42=\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

Évaluer

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$