Résoudre 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Calculer x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-20. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=-5 b=16$$

Réécrire 4x^{2}+11x-20 en tant qu’\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Factorisez x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-5=0 et x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 11 à b et -20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Additionner 121 et 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±21}{8} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Réduire la fraction \frac{10}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±21}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Diviser -32 par 8.

$$x=-4$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Ajouter 20 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

La soustraction de -20 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Soustraire -20 à 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Diviser 20 par 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Divisez \frac{11}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{11}{8}. Ajouter ensuite le carré de \frac{11}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{11}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Additionner 5 et \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Soustraire \frac{11}{8} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$