Résoudre 4p^2-25p+21=-4

$$4 p ^ { 2 } - 25 p + 21 = - 4$$

Calculer p

$$p = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

$$p=5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$4p^{2}-25p+21+4=0$$

Additionner 21 et 4 pour obtenir 25.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4p^{2}+ap+bp+25. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-25 ab=4\times 25=100$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

La solution est la paire qui donne la somme -25.

$$a=-20 b=-5$$

Réécrire 4p^{2}-25p+25 en tant qu’\left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right).

$$\left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right)$$

Factorisez 4p du premier et -5 dans le deuxième groupe.

$$4p\left(p-5\right)-5\left(p-5\right)$$

Factoriser le facteur commun p-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(p-5\right)\left(4p-5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez p-5=0 et 4p-5=0.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

La soustraction de -4 de lui-même donne 0.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=0$$

Soustraire -4 à 21.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -25 à b et 25 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -25.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-16\times 25}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 25.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-400}}{2\times 4}$$

Additionner 625 et -400.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 225.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±15}{2\times 4}$$

L’inverse de -25 est 25.

$$p=\frac{25±15}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$p=\frac{25±15}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{25±15}{8} lorsque ± est positif. Additionner 25 et 15.

$$p=\frac{40}{8}$$

Diviser 40 par 8.

$$p=5$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{25±15}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 15 à 25.

$$p=\frac{10}{8}$$

Réduire la fraction \frac{10}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$p=\frac{5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

Soustraire 21 des deux côtés de l’équation.

$$4p^{2}-25p+21-21=-4-21$$

La soustraction de 21 de lui-même donne 0.

$$4p^{2}-25p=-4-21$$

Soustraire 21 à -4.

$$4p^{2}-25p=-25$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4p^{2}-25p}{4}=-\frac{25}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p=-\frac{25}{4}$$

Divisez -\frac{25}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{25}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{25}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{25}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}$$

Additionner -\frac{25}{4} et \frac{625}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=\frac{225}{64}$$

Factor p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifier.

$$p-\frac{25}{8}=\frac{15}{8} p-\frac{25}{8}=-\frac{15}{8}$$

Ajouter \frac{25}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$