Résoudre 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Calculer n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 11 des deux côtés.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4n^{2}+an+bn-11. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-11 b=4$$

Réécrire 4n^{2}-7n-11 en tant qu’\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Factoriser n dans 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Factoriser le facteur commun 4n-11 en utilisant la distributivité.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4n-11=0 et n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4n^{2}-7n=11$$

Soustraire 11 des deux côtés de l’équation.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

La soustraction de 11 de lui-même donne 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -7 à b et -11 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Additionner 49 et 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{7±15}{8} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Réduire la fraction \frac{22}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{7±15}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 15 à 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Diviser -8 par 8.

$$n=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Divisez -\frac{7}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Additionner \frac{11}{4} et \frac{49}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Factor n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplifier.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Ajouter \frac{7}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$