Résoudre 4n^2-2n-90

$$4 n ^ { 2 } - 2 n - 90$$

Factoriser

$$2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Étapes de la solution

Exclure 2.

$$2\left(2n^{2}-n-45\right)$$

Considérer 2n^{2}-n-45. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 2n^{2}+an+bn-45. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-10 b=9$$

Réécrire 2n^{2}-n-45 en tant qu’\left(2n^{2}-10n\right)+\left(9n-45\right).

$$\left(2n^{2}-10n\right)+\left(9n-45\right)$$

Factorisez 2n du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$2n\left(n-5\right)+9\left(n-5\right)$$

Factoriser le facteur commun n-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4n^{2}-2n-90=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-90\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -2.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-90\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-90\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -90.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1440}}{2\times 4}$$

Additionner 4 et 1440.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1444}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 1444.

$$n=\frac{-\left(-2\right)±38}{2\times 4}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$n=\frac{2±38}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$n=\frac{2±38}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{2±38}{8} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 38.

$$n=\frac{40}{8}$$

Diviser 40 par 8.

$$n=5$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{2±38}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 38 à 2.

$$n=-\frac{36}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-36}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 5 par x_{1} et -\frac{9}{2} par x_{2}.

$$4n^{2}-2n-90=4\left(n-5\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$4n^{2}-2n-90=4\left(n-5\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Additionner \frac{9}{2} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4n^{2}-2n-90=4\left(n-5\right)\times \frac{2n+9}{2}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 2 dans 4 et 2.

$$4n^{2}-2n-90=2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$

Évaluer

$$2\left(n-5\right)\left(2n+9\right)$$