Résoudre 4k^2+12k+9=0

$$4 k ^ { 2 } + 12 k + 9 = 0$$

Calculer k

$$k = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4k^{2}+ak+bk+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

La solution est la paire qui donne la somme 12.

$$a=6 b=6$$

Réécrire 4k^{2}+12k+9 en tant qu’\left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right).

$$\left(4k^{2}+6k\right)+\left(6k+9\right)$$

Factorisez 2k du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$2k\left(2k+3\right)+3\left(2k+3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2k+3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2k+3\right)\left(2k+3\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(2k+3\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 2k+3=0.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 12 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 12.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 9.

$$k=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Additionner 144 et -144.

$$k=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$k=-\frac{12}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$k=-\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4k^{2}+12k+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$4k^{2}+12k+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$4k^{2}+12k=-9$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4k^{2}+12k}{4}=-\frac{9}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$k^{2}+\frac{12}{4}k=-\frac{9}{4}$$

Diviser 12 par 4.

$$k^{2}+3k=-\frac{9}{4}$$

Divisez 3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$k^{2}+3k+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Additionner -\frac{9}{4} et \frac{9}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$k^{2}+3k+\frac{9}{4}=0$$

Factor k^{2}+3k+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$k+\frac{3}{2}=0 k+\frac{3}{2}=0$$

Soustraire \frac{3}{2} des deux côtés de l’équation.

$$k=-\frac{3}{2} k=-\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$k=-\frac{3}{2}$$