Résoudre 4a^2+8a-45

$$4 a ^ { 2 } + 8 a - 45$$

Factoriser

$$\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 4a^{2}+pa+qa-45. Pour rechercher p et q, configurez un système à résoudre.

$$p+q=8 pq=4\left(-45\right)=-180$$

Étant donné que pq est négatif, p et q ont des signes opposés. Étant donné que p+q est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 8.

$$p=-10 q=18$$

Réécrire 4a^{2}+8a-45 en tant qu’\left(4a^{2}-10a\right)+\left(18a-45\right).

$$\left(4a^{2}-10a\right)+\left(18a-45\right)$$

Factorisez 2a du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$2a\left(2a-5\right)+9\left(2a-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2a-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+8a-45=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$a=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 8.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -45.

$$a=\frac{-8±\sqrt{64+720}}{2\times 4}$$

Additionner 64 et 720.

$$a=\frac{-8±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 784.

$$a=\frac{-8±28}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$a=\frac{-8±28}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{-8±28}{8} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 28.

$$a=\frac{20}{8}$$

Réduire la fraction \frac{20}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$a=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation a=\frac{-8±28}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 28 à -8.

$$a=-\frac{36}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-36}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$a=-\frac{9}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{5}{2} par x_{1} et -\frac{9}{2} par x_{2}.

$$4a^{2}+8a-45=4\left(a-\frac{5}{2}\right)\left(a-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$4a^{2}+8a-45=4\left(a-\frac{5}{2}\right)\left(a+\frac{9}{2}\right)$$

Soustraire \frac{5}{2} de a en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{2a-5}{2}\left(a+\frac{9}{2}\right)$$

Additionner \frac{9}{2} et a en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{2a-5}{2}\times \frac{2a+9}{2}$$

Multiplier \frac{2a-5}{2} par \frac{2a+9}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$4a^{2}+8a-45=4\times \frac{\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)}{4}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 4 dans 4 et 4.

$$4a^{2}+8a-45=\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$

Évaluer

$$\left(2a-5\right)\left(2a+9\right)$$