Résoudre 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 4x^{2}+4 par 2x^{2}+1 et combiner les termes semblables.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Soustraire 5x^{4} des deux côtés.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Combiner 8x^{4} et -5x^{4} pour obtenir 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Ajouter 10x^{2} aux deux côtés.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Combiner 12x^{2} et 10x^{2} pour obtenir 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Soustraire 5 des deux côtés.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Soustraire 5 de 4 pour obtenir -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Substituer t pour x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 3 pour a, 22 pour b et -1 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Résoudre l’équation t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Depuis x=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant x=±\sqrt{t} pour chaque t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Calculer x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 4x^{2}+4 par 2x^{2}+1 et combiner les termes semblables.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Soustraire 5x^{4} des deux côtés.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Combiner 8x^{4} et -5x^{4} pour obtenir 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Ajouter 10x^{2} aux deux côtés.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Combiner 12x^{2} et 10x^{2} pour obtenir 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Soustraire 5 des deux côtés.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Soustraire 5 de 4 pour obtenir -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Substituer t pour x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 3 pour a, 22 pour b et -1 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Résoudre l’équation t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Depuis x=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant x=±\sqrt{t} pour des t positives.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$