Résoudre 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Soustraire 169 de 4 pour obtenir -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-165. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

La solution est la paire qui donne la somme 8.

$$a=-22 b=30$$

Réécrire 4x^{2}+8x-165 en tant qu’\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Factorisez 2x du premier et 15 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-11 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-11=0 et 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Soustraire 169 de 4 pour obtenir -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 8 à b et -165 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Additionner 64 et 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±52}{8} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Réduire la fraction \frac{44}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±52}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 52 à -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-60}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Soustraire 169 de 4 pour obtenir -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Ajouter 165 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$4x^{2}+8x=165$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Diviser 8 par 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Divisez 2, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 1. Ajouter ensuite le carré de 1 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Calculer le carré de 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Additionner \frac{165}{4} et 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}+2x+1. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifier.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$