Résoudre 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

Factoriser

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 4x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -8.

$$1,-8 2,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -7.

$$a=-8 b=1$$

Réécrire 4x^{2}-7x-2 en tant qu’\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

Factoriser 4x dans 4x^{2}-8x.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Additionner 49 et 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±9}{8} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 9.

$$x=\frac{16}{8}$$

Diviser 16 par 8.

$$x=2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±9}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à 7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 2 par x_{1} et -\frac{1}{4} par x_{2}.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Additionner \frac{1}{4} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Annuler 4, le plus grand facteur commun dans 4 et 4.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Évaluer

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$