Résoudre 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -5 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Additionner 25 et -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de -135.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 3i\sqrt{15} à 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

La soustraction de 10 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Divisez -\frac{5}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Additionner -\frac{5}{2} et \frac{25}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Ajouter \frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$