Résoudre 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -4 à b et -16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Additionner 16 et 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Diviser 4+4\sqrt{17} par 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{17} à 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Diviser 4-4\sqrt{17} par 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Ajouter 16 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

La soustraction de -16 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Soustraire -16 à 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Diviser -4 par 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Diviser 16 par 4.

$$x^{2}-x=4$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Additionner 4 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$