Résoudre 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -4.

$$a=-10 b=6$$

Réécrire 4x^{2}-4x-15 en tant qu’\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factorisez 2x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-5=0 et 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -4 à b et -15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Additionner 16 et 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±16}{8} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Réduire la fraction \frac{20}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±16}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Ajouter 15 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

La soustraction de -15 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Soustraire -15 à 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Diviser -4 par 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Additionner \frac{15}{4} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$