Résoudre 4x^2-18x+18=0

$$4 { x }^{ 2 } -18x+18=0$$

Calculer x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 2.

$$2x^{2}-9x+9=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-6 b=-3$$

Réécrire 2x^{2}-9x+9 en tant qu’\left(2x^{2}-6x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factorisez 2x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 2x-3=0.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-18x+18=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -18 à b et 18 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 18}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 18}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-288}}{2\times 4}$$

Additionner 324 et -288.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 36.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±6}{2\times 4}$$

L’inverse de -18 est 18.

$$x=\frac{18±6}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{18±6}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{18±6}{8} lorsque ± est positif. Additionner 18 et 6.

$$x=\frac{24}{8}$$

Diviser 24 par 8.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{18±6}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 6 à 18.

$$x=\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+18=0$$

Soustraire 18 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-18x+18-18=-18$$

La soustraction de 18 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-18x=-18$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{18}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{18}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{18}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Divisez -\frac{9}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Additionner -\frac{9}{2} et \frac{81}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Ajouter \frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=\frac{3}{2}$$