Résoudre 4x^2-11x-3

$$4 { x }^{ 2 } -11x-3$$

Factoriser

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 4x^{2}+ax+bx-3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -11.

$$a=-12 b=1$$

Réécrire 4x^{2}-11x-3 en tant qu’\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Factoriser 4x dans 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

Additionner 121 et 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

L’inverse de -11 est 11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±13}{8} lorsque ± est positif. Additionner 11 et 13.

$$x=\frac{24}{8}$$

Diviser 24 par 8.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±13}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à 11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 3 par x_{1} et -\frac{1}{4} par x_{2}.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Additionner \frac{1}{4} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$4x^{2}-11x-3=4\left(x-3\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 4 dans 4 et 4.

$$4x^{2}-11x-3=\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Évaluer

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$