Résoudre 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Calculer x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 120 des deux côtés.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-30. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-5 b=6$$

Réécrire x^{2}+x-30 en tant qu’\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Factorisez x du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-5=0 et x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+4x=120$$

Soustraire 120 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

La soustraction de 120 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 4 à b et -120 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Additionner 16 et 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±44}{8} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Diviser 40 par 8.

$$x=5$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±44}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 44 à -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Diviser -48 par 8.

$$x=-6$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=5 x=-6$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Diviser 4 par 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Diviser 120 par 4.

$$x^{2}+x=30$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Additionner 30 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=5 x=-6$$