Résoudre 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+4x=1$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 4 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Additionner 16 et 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Diviser -4+4\sqrt{2} par 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{2} à -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Diviser -4-4\sqrt{2} par 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Diviser 4 par 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Additionner \frac{1}{4} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$